Question

9．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，△PAB為等邊三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：BE⊥PA；
（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中點F，連結(jié)BF、EF，推導出AD⊥平面PAB，從而AD⊥PA，PA⊥EF，再由等邊三角形性質(zhì)得BF⊥PA，由此能證明BE⊥PA．
（Ⅱ）取AB的中點H，則由平面PAB⊥平面ABCD知PH⊥平面ABCD，設(shè)點D到平面PAC的距離為d，由V_P-ACD=V_D-PAC，能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）取PA的中點F，連結(jié)BF、EF，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴AD⊥PA，
∵EF∥AD，∴PA⊥EF，
∵△PAB為等邊三角形，∴BF⊥PA，
又BF∩EF=F，∴PA⊥平面BEF，
又BE?平面BEF，∴BE⊥PA．
（Ⅱ）取AB的中點H，則由平面PAB⊥平面ABCD知PH⊥平面ABCD，
又PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×4×2$=4，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PH=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由（Ⅰ）知PA⊥平面BCEF，F(xiàn)C?平面BCEF，∴PA⊥FC，
又FC=BE=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2=\sqrt{7}$，
設(shè)點D到平面PAC的距離為d，
由V_P-ACD=V_D-PAC，得$\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d$，
解得d=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．