Question

4．如圖（1），正三角形ABC邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別為AC和BC邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B（如圖（2））
（1）請(qǐng)判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求二面角B-AC-D的大��；
（3）求點(diǎn)C到平面DEF的距離．

Answer 1

分析 （1）判斷AB∥平面DEF，再由直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明．
（2）以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大�。�
（3）先求出平面DEF的法向量，由此能求出點(diǎn)C到平面DEF的距離．

解答 解：（1）判斷：AB∥平面DEF，
證明：在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（a，0，0），A（0，0，a），C（0，$\sqrt{3}a$，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（a，0，-a），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{3}a$，-a），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=ax-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}ay-az=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
又平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角B-AC-D的大小為α，
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角B-AC-D的大小為arccos$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（3）C（0，$\sqrt{3}a$，o），E（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$），F(xiàn)（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}a$，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），
設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{3}a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)C到平面DEF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}a}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，考查二面角、點(diǎn)到平面距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．