Question

2．已知集合R_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．對(duì)于A=（a₁，a₂，…，a_n）∈R_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈R_n，定義A與B之間的距離為d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…|a_n-b_n|=$\sum_{i=1}^n{|{{a_i}-{b_i}}|}$．
（Ⅰ）寫出R₂中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；
（Ⅱ）若集合M滿足：M⊆R₃，且任意兩元素間的距離均為2，求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合M；
（Ⅲ）設(shè)集合P⊆R_n，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為$\overline d（P）$，證明$\overline d（P）≤\frac{mn}{2（m-1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)集合的定義，寫出R₂中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；
（Ⅱ）R₃中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，即可求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合M；
（Ⅲ）$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$，其中$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和，根據(jù)${t_i}（m-{t_i}）≤\frac{m^2}{4}$，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）R₂={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R₂，d（A，B）_max=2．
（Ⅱ）R₃中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素個(gè)數(shù)最大值為4．
（Ⅲ）$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$，其中$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和．
設(shè)P中所有元素的第i個(gè)位置的數(shù)字中共有t_i個(gè)1，m-t_i個(gè)0，則$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}=\sum_{i=1}^n{{t_i}（m-}{t_i}）$
由于${t_i}（m-{t_i}）≤\frac{m^2}{4}$（i=1，2，…，n）
所以$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}=\sum_{i=1}^n{{t_i}（m-}{t_i}）≤\frac{{n{m^2}}}{4}$
從而$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）≤\frac{{n{m^2}}}{4C_m^2}=\frac{nm}{2（m-1）}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查函數(shù)的最值，考查集合知識(shí)，難度大．