Question

已知雙曲線C的中心為坐標原點O，右頂點為A(1，0)，G為雙曲線C的右準線與x軸的交點，P、Q為雙曲線C上不同兩點，且滿足≠0，=0．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)若直線FQ按向量a=(0，1)平移后所得直線與雙曲線C交于不同兩點M、N，當-≤≤-時，求直線PQ的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)設雙曲線C的方程為=1(a＞0，b＞0)，

∵右頂點為A(1，0)，

∴a=1，∴ (其中c=)，

∴G點坐標為(，0)．

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則

=(x₁-，y₁)，=(x₂-，y₂)，

=(1-，0)，

∵=0

∴

則∴

又P、Q在雙曲線C上，

,作差并整理得，

(x₁+x₂)(x₁-x₂)= ③,

∵≠0，∴x₁≠x₂.

將②代入③得，x₁+x₂=0，

代入①得0=-1,∴c=3，∴b²=c²-a²=8．

∴雙曲線C的方程為：x²-=1.

(Ⅱ)設直線PQ的斜率為k，由(Ⅰ)知直線PQ過原點，

∴直線PQ的方程為：y=kx，代入C：x²-=1并整理得(8-k²)x²=8，

∴8-k²＞0，∴k²＜8，

直線MN是由直線PQ按a=(0，1)平移得到，故可設直線MN的方程為：y=kx+l，代入C：x²-=1消去y并整理，得(8-k²)x²-2kx-9=0，

由A=4k²+36(8-k²)=288-32k²＞0，

解得k²＜9，

故知在k²＜8的條件下，直線MN與雙曲線總有兩個交點．

設這兩個交點為M(x₃，y₃)，N(x₄，y₄)，則

x₃+x₄=  ，x₃x₄=,

∵y₃=kx₃+1,y₄=kx₄+1，

∴y₃y₄=(kx₃+1)(kx₄+1)=k²x₃x₄+k(x₃+x₄)+1，

∴=(x₃，y₃)·(x₄，y₄)=x₃x₄+y₃y₄

=(1+k²)x₃x₄+k(x₃+x₄)+1

=(1+k₂)·+1

=,

由≤≤，得≤≤,

由此可知1≤k²≤2≤≤．

∴直線PQ的斜率的取值范圍為：[，-1]∪[1，]．