Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若對任意的，都存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析;(2）.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)得，分， 和 三種情況得單調(diào)區(qū)間.

(2）依題意，只需,由（1）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增， ，

轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，對討論求最值即可.

試題解析：（1）

令得

①當(dāng)時， ，當(dāng)時， ；當(dāng)或時， ，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時， ， , 在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時， ，當(dāng)時， ；當(dāng)或時， ，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為

綜上所述，當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2）由（1）可知，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，

∴時， ，依題意，只需

即對任意的，不等式恒成立，

設(shè)，則，

∵，∴

①當(dāng)時，對任意的， ，∴

∴在上單調(diào)遞增， 恒成立；

②當(dāng)時，存在使得當(dāng)時， ，∴，∴單調(diào)遞減，

∴，∴時， 不能恒成立

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立問題.求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進而求解得結(jié)果.