Question

 （本小題共l4分）

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程；

（Ⅲ）設(shè)，證明：．

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

當(dāng)時(shí)．；當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)．

為的極大值點(diǎn)，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化為，

即為，且

①當(dāng)時(shí)，，則，即，

，此時(shí)，∵，

此時(shí)方程僅有一解．

②當(dāng)時(shí)，，由，得，，

若，則，方程有兩解；

若時(shí)，則，方程有一解；

若或，原方程無(wú)解．

方法二：原方程可化為，

即，

①當(dāng)時(shí)，原方程有一解；

②當(dāng)時(shí)，原方程有二解；

③當(dāng)時(shí)，原方程有一解；

④當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解．

（Ⅲ）由已知得，

．

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）

從而有，當(dāng)時(shí)，．

又

．

即對(duì)任意時(shí)，有，又因?yàn)?sub>，所以．

則，故原不等式成立．