Question

（本小題共l4分）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程；
（Ⅲ）設(shè)，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），

．
令，得（舍去）．
當(dāng)時(shí)．；當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)．
為的極大值點(diǎn)，且．
（Ⅱ）方法一：原方程可化為，
即為，且
①當(dāng)時(shí)，，則，即，
，此時(shí)，∵，
此時(shí)方程僅有一解．
②當(dāng)時(shí)，，由，得，，
若，則，方程有兩解；
若時(shí)，則，方程有一解；
若或，原方程無解．
方法二：原方程可化為，
即，
①當(dāng)時(shí)，原方程有一解；
②當(dāng)時(shí)，原方程有二解；
③當(dāng)時(shí)，原方程有一解；
④當(dāng)或時(shí)，原方程無解．
（Ⅲ）由已知得，
．
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）
從而有，當(dāng)時(shí)，．
又
．
即對任意時(shí)，有，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/c/jclzm1.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
則，故原不等式成立．

解析