Question

設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)，使得.若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由.
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦， MNAB，求證：為定值

Answer 1

解：橢圓的頂點(diǎn)為，即
，解得，  橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 …… 3分
（2）由題可知,直線(xiàn)與橢圓必相交.
①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．
②設(shè)存在直線(xiàn)為，且，.
由得，                     
，，

=  
所以，故直線(xiàn)的方程為或 …………8分
（3）設(shè),
由（2）可得：  |MN|=
=.
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴ 為定值

解析