Question

【題目】某科技創(chuàng)新公司投資萬元研發(fā)了一款網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)品，產(chǎn)品上線第1個(gè)月的收入為40萬元，預(yù)計(jì)在今后若干個(gè)月內(nèi)，該產(chǎn)品每月的收入平均比上一月增長，同時(shí)，該產(chǎn)品第1個(gè)月的維護(hù)費(fèi)支出為萬元，以后每月的維護(hù)費(fèi)支出平均比上一個(gè)月增加50萬元.

（1）分別求出第6個(gè)月該產(chǎn)品的收入和維護(hù)費(fèi)支出，并判斷第6個(gè)月該產(chǎn)品的收入是否足夠支付第6個(gè)月的維護(hù)費(fèi)支出？

（2）從第幾個(gè)月起，該產(chǎn)品的總收入首次超過總支出？（總支出包括維護(hù)費(fèi)支出和研發(fā)投資支出）

Answer 1

【答案】（1）收入約為303.75萬元，維護(hù)費(fèi)為350萬元（2）第10月

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可知月收入依次成首項(xiàng)為40萬元，公比為的等比數(shù)列，每月的維護(hù)費(fèi)支出依次成首項(xiàng)為100萬元，公差為50的等差數(shù)列．進(jìn)而利用等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an和bn，代入n=6可得結(jié)果.

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過n個(gè)月的總收入為Sn萬元，總支出為Tn萬元，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式分別求得Sn和Tn．進(jìn)而根據(jù)，即 ，

求得n的范圍．

解：記產(chǎn)品從第一個(gè)月起，每個(gè)月的收入為數(shù)列，每個(gè)月的維護(hù)費(fèi)支出為數(shù)列，

則， ，

(1) 第6個(gè)月的收入為：萬元，

第6個(gè)月的維護(hù)費(fèi)為：萬元，

∴第6個(gè)月的收入還不足以支付第6個(gè)月的維護(hù)費(fèi) .

(2)到第個(gè)月，該產(chǎn)品的總收入為

該產(chǎn)品的總支出為

由題意知，只需，即 ，

由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=10.

∴從第10個(gè)月起，該產(chǎn)品的總收入首次超過總支出.