Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）若滿足，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若二面角大小為60°，求的長．

Answer 1

解答：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，

∴CD // BQ ．                                  

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                    

∴BQ⊥平面PAD．                               

∵BQ平面MQB，

∴平面MQB⊥平面PAD．          

（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點， 

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．                 

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．則，，，，

由 ，且，得

∵，

∴                          …………6分

∴

設(shè)異面直線AP與BM所成角為

則=               

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量為               

由 ，且，得

又，

∴ 平面MBQ法向量為．                   

∵二面角M-BQ-C為30°，  ∴，

∴ ．∴