Question

【題目】已知函數(shù)，若同時(shí)滿足以下條件：

①在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；

②存在區(qū)間，使在 上的值域是，那么稱為閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間 ；

（2）判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間；若不是請說明理由；

（3）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由在R上單減，列出方程組，即可求的值；

（2）由函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增可知 即，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷

（3）易知在[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組 有解，方程至少有兩個(gè)不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個(gè)都不小于k的不根．結(jié)合二次方程的實(shí)根分布可求k的范圍

解：（1）∵在R上單減，所以區(qū)間[a，b]滿足，

解得a=﹣1，b=1

（2）∵函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增

假設(shè)存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，a＜b，則，即

∴l(xiāng)gx=﹣x在（0，+∞）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lgx與y=﹣x只有一個(gè)交點(diǎn)

故不存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函數(shù)

（3）易知在[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．

設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組有解，方程至少有兩個(gè)不同的解

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個(gè)都不小于k的不根．

∴ 得，即所求．