Question

17．已知函數(shù)f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin${\;}^2}\frac{x}{2}$$\frac{x}{2}$．f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值是$-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，x∈[0，$\frac{2π}{3}}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，即可求得f（x）的取值范圍，即可得到答案．

解答 解：f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin${\;}^2}\frac{x}{2}$$\frac{x}{2}$，
=sinx-$\sqrt{3}$（1-cosx），
=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$，
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
x∈[0，$\frac{2π}{3}}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[0，2]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}}$]的最小值為-$\sqrt{3}$，
故答案為：$-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基本知識的考查，屬于基礎(chǔ)題．