Question

已知圓：交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線：為準線的橢圓．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是直線上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標；

（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點，且，試求此時弦的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標準方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。  4分

（Ⅱ）設(shè)，則圓方程為 

與圓聯(lián)立消去得的方程為，

過定點。                              …………8分 

（Ⅲ）解法一：設(shè)，則,………①

，，即：

代入①解得：（舍去正值），      ，所以，

從而圓心到直線的距離，從而， 16分

考點：橢圓的方程

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的時候，一般采用聯(lián)立方程組的思想來得到，屬于基礎(chǔ)題。