Question

20．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱BC、CC₁的中點(diǎn)，Q是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一點(diǎn)，若A₁Q∥平面AEF，則點(diǎn)Q的軌跡為（　�。�

• A． 一個(gè)點(diǎn)
• B． 兩個(gè)點(diǎn)
• C． 一條線段
• D． 兩條線段

Answer 1

分析 分別取棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接MN，先證明平面A₁MN∥平面AEF，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡．

解答 解：如圖所示：分別取棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接MN，連接BC₁，
∵M(jìn)、N、E、F為所在棱的中點(diǎn)，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四邊形AENA₁為平行四邊形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵Q是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一點(diǎn)，且A₁Q∥平面AEF，
∴Q必在線段MN上，∴點(diǎn)Q的軌跡為線段MN．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找Q點(diǎn)位置．