Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos2x，g（x）=sinx，h（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）．
（1）判斷函數(shù)H（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+g（x+$\frac{π}{2}$）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x+$\frac{π}{2}$）和h（x-π）都是奇函數(shù)，將滿足條件的ω按從小到大的順序組成一個數(shù)列{a_n}，求{a_n}的通項公式；
（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+a•g（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有147個零點．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)H（x）=-sin2x+cosx，為非奇非偶函數(shù)．運用奇偶性的定義即可得到；
（2）由奇函數(shù)和誘導(dǎo)公式可得$\frac{π}{2}$ω+φ=kπ，φ-ωπ=lπ（k，l∈Z），解得ω=$\frac{2}{3}$（k-l），即可得到所求通項公式；
（3）由題意可得a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，作出函數(shù)y=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在（0，2π）的圖象，討論一個周期內(nèi)的零點個數(shù)，即可得到所求n和a的值．

解答 解：（1）函數(shù)H（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+g（x+$\frac{π}{2}$）=cos2（x+$\frac{π}{4}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）
=-sin2x+cosx，為非奇非偶函數(shù)．
理由：定義域為R，H（-x）=-sin2（-x）+cos（-x）=sin2x+cosx≠H（x），
且H（-x）≠-H（x），即有H（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）函數(shù)h（x+$\frac{π}{2}$）和h（x-π）都是奇函數(shù)，
即有sin（ωx+$\frac{π}{2}$ω+φ）和sin（ωx+φ-ωπ）均為奇函數(shù)，
則$\frac{π}{2}$ω+φ=kπ，φ-ωπ=lπ（k，l∈Z），
解得ω=$\frac{2}{3}$（k-l），由于ω＞0，k，l∈Z，則ω=$\frac{2}{3}$n．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{2n}{3}$；
（3）F（x）=f（x）+a•g（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asinx，
令F（x）=0，可得a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，
作出函數(shù)y=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在（0，2π）的圖象，
由一個周期內(nèi)，a=1，或-1，有3個交點，即3個零點；
a＞1或a＜-1，有2個交點，即2個零點；當(dāng)-1＜a＜1，有4個交點，即4個零點．
由F（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有147個零點．
故a=1或-1，n=49×2=98．

點評 本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的運用，同時考查誘導(dǎo)公式的運用，以及函數(shù)的零點的個數(shù)的求法，注意運用周期性，考查運算能力，屬于中檔題．