Question

22.

已知方向向量為的直線l過點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足=，cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

22.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.

（I）解法一：直線，  ①

過原點(diǎn)垂直的直線方程為，  ②

解①②得

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

解法二：直線.

設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

 

∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

（II）解法一：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得

點(diǎn)O到直線MN的距離

即

即

整理得

當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.

故直線m的方程為

或或

經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為

或或