Question

【題目】已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.

（1）求與的值；

（2）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）,； （2）存在點(diǎn).

【解析】

（1）由拋物線上點(diǎn)的焦半徑為可求得，從而再求得；

（2）假設(shè)設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，令，，條件轉(zhuǎn)化為，即，整理得：，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消去（注意討論的情形），得的方程，由韋達(dá)定理得，代入它是與無關(guān)的等式，從而可得．

（1）根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即

，解得，∴拋物線方程為，

點(diǎn)在拋物線上，得，∴.

（2）拋物線方程為：，

當(dāng)，直線只與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不成立，

當(dāng)時(shí)，令，，設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，

即：，

即，

整理得：，

，整理得，

∴，，

∴，

∴，解的，

因此存在點(diǎn)滿足題意.