Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．

（Ⅰ）若，證明：f（x）≥0；

（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）[）．

【解析】

（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求的范圍，即可得證；

（Ⅱ）由已知代入整理可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，按照、討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分別分析函數(shù)的特征性質(zhì)，即可得解．

（Ⅰ）證明：函數(shù)的定義域，

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

故，

又，所以；

（Ⅱ）若在上恒成立，

則在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

令，則，則，

所以，可得，

∵，

（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，

此時(shí)不成立；

（ii）當(dāng)時(shí)，由可得，，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，則在上，不成立；

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

令，

則，

令，

∵，

故在上單調(diào)遞增，，

則，符合題意；

綜上，a的范圍．