Question

【題目】設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)、滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)、只能在軸兩側(cè)．設(shè)，，則，運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到的范圍．

解：假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)、滿(mǎn)足題設(shè)要求，

則點(diǎn)、只能在軸兩側(cè)．

不妨設(shè)，，

則，

是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

，

即

若方程有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)、；

若方程無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)、．

若，則代入式得：

即，而此方程無(wú)解，因此，此時(shí)，

代入式得：，

即

令，

則，

在，上單調(diào)遞增，

，

的取值范圍是．

對(duì)于，方程總有解，即方程總有解．

故答案為：．