Question

【題目】曲線的極坐標(biāo)方程為（常數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；

（2）若曲線，有兩個不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系及題目條件得曲線的直角坐標(biāo)方程，利用消元法消去t可得的普通方程；

（2）若曲線，有兩個不同的公共點(diǎn)，法一：方程聯(lián)立利用根與系數(shù)關(guān)系，利用判別式解出即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：數(shù)形結(jié)合可得圓心到直線距離小于半徑，解出即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）方法一：由得：.

由得：，即.

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：，的普通方程為：.

方法二：由得：.

由得：；由得：.

∴.

整理得的普通方程為：.

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：，的普通方程為：.

（2）方法一：由消得：.

由曲線，有兩個不同的公共點(diǎn)得：，解得：.

又當(dāng)圓：過點(diǎn)時，有，且曲線表示不過點(diǎn)的直線.

∴.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

方法二：圓心到直線的距離為：.

由曲線，有兩個不同的公共點(diǎn)得：，即.

又當(dāng)圓：過點(diǎn)時，有，且曲線表示不過點(diǎn)的直線.

∴.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.