Question

7．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB₁上一點(diǎn)．
（1）求證：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）利用構(gòu)造平行四邊形方法證明BB₁D₁D是平行四邊形，從而得到B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）利用線面垂直的定義來(lái)證明AC⊥平面BB₁D，從而得到MD⊥AC．

解答 （1）證明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁，
又∵BB₁=DD₁，∴BB₁D₁D是平行四邊形，
∴B₁D₁∥BD．
而B(niǎo)D?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
∴B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）證明∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．
又∵BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D．
而MD?平面BB₁D，∴MD⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于空間立體幾何線面平行與判定的高考常考題型，考生應(yīng)熟悉應(yīng)用構(gòu)造平行四邊形法證明線面平行，熟悉應(yīng)用相關(guān)線面垂直判定的知識(shí)點(diǎn)．