Question

19．已知函數f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=$\frac{1}{3}$x+1，g（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$+$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$，若a，b∈[-1，5]，且當x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）時，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，則b-a的最大值為5．

Answer 1

分析 由題意可得，g（x）=max{f（x₁），f（x₂）}，作出函數g（x）的圖象，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立等價于函數為增函數，由圖象得答案．

解答 解：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=$\frac{1}{3}$x+1，g（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$+$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$，
得g（x）=max{f（x₁），f（x₂）}，作出函數g（x）的圖象如圖：

若a，b∈[-1，5]，且當x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）時，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
等價于函數g（x）為增函數，
由圖可知，x∈[0，5]，則（b-a）_max=5．
故答案為：5．

點評 本題考查函數的值域及單調性，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，正確理解題意是解答該題的關鍵，是中檔題．