Question

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；

（II）試問點(diǎn)在線段上什么位置時(shí)，二面角的余弦值為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；

（II）當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過連接，應(yīng)用三角形的中位線定理得到證明得到 面．

（II）利用空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個(gè)法向量，而平面的法向量，得到，確定出點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.解答此類問題，要注意發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)刂苯亲鴺?biāo)系，以簡化解題過程.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，

由三角形的中位線定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

在中，斜邊,得，所以，.

設(shè)，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由題意，即，

解得（舍去）或，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：平行關(guān)系，空間向量的應(yīng)用，二面角的計(jì)算.