Question

14．設f^-1（x）為f（x）=$\frac{π}{6}$sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的反函數，則y=f（x）+f^-1（x）的值域為$[-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}]$．

Answer 1

分析 求出原函數的值域可得其反函數的定義域，取交集可得函數y=f（x）+f^-1（x）的定義域，再由單調性求得y=f（x）+f^-1（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{π}{6}sinx$在[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上為增函數，
∴f（x）的值域為[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，則其反函數的定義域為[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，
∴y=f（x）+f^-1（x）的定義域為[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，
又y=f^-1（x）的單調性相同，
可得y=f（x）+f^-1（x）在[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上為增函數．
∴當x=-$\frac{π}{6}$時函數有最小值為$\frac{π}{6}×（-\frac{1}{2}）-\frac{π}{2}=-\frac{7π}{12}$；
當x=$\frac{π}{6}$時函數有最大值為$\frac{π}{6}×\frac{1}{2}+\frac{π}{2}=\frac{7π}{12}$．
∴y=f（x）+f^-1（x）的值域為[$-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}$]．
故答案為：[$-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}$]．

點評 本題考查函數的值域，考查函數單調性的性質，明確互為反函數的兩個函數具有相同單調性是關鍵，是中檔題．