Question

10．已知中心在原點，焦點在x軸的橢圓過點$E（1，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，且焦距為2，過點P（1，1）分別作斜率為k₁，k₂的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當k₁+k₂=1，直線MN是否恒過定點？如果是，求出定點坐標．如果不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知c=1設(shè)右焦點F′（1，0）．可得2a=|EF|+|EF′|=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=2．即可得出．（2）由題意k₁≠k₂，設(shè)M（x_M，y_M），直線AB：y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂ 代入橢圓方程并化簡可得：M，N的坐標．當k₁k₂≠0時，直線MN的斜率k=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$與直線MN的方程，又k₁+k₂=1 化簡得y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，此時直線過定點即可得出．

解答 解：（1）由題意知c=1設(shè)右焦點F′（1，0）．
∴2a=|EF|+|EF′|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}-0）^{2}}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，…（2分）
∴a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=2．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（4分）
（2）由題意k₁≠k₂，設(shè)M（x_M，y_M），
直線AB：y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂ 代入橢圓方程并化簡得$（2+3{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+6k₁k₂x+$3{k}_{2}^{2}-6$=0，…（5分）
∴x_M=$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$，y_M=$\frac{2{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$．…（7分）
同理x_N=$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{2}^{2}}$，y_N=$\frac{2{k}_{1}}{2+3{k}_{2}^{2}}$．…（8分）
當k₁k₂≠0時，直線MN的斜率k=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$，…（9分）
直線MN的方程為y-$\frac{2{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$（x-$\frac{-3{k}_{1}{k}_{2}}{2+3{k}_{1}^{2}}$） …（10分）
 又k₁+k₂=1 化簡得y=$\frac{10-6{k}_{1}{k}_{2}}{-9{k}_{1}{k}_{2}}$x-$\frac{2}{3}$，此時直線過定點（0，$-\frac{2}{3}$）
當k₁k₂=0時，直線MN即為y軸，也過點（0，$-\frac{2}{3}$）…（12分）
綜上，直線過定點（0，$-\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了橢圓與圓的定義標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、直線經(jīng)過定點，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．