Question

在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ)設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)都有.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)
所以
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有

解析試題分析：（1）容易求得：，           （1分）
故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立， 2分）
假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即
，（3分）
那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
（5分）
即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。
（2）
所以
 
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有-------（12分）
考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及數(shù)列求和
點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，第一步先證明n取最小值時(shí)成立，第二步假設(shè)時(shí)命題成立，借此來(lái)證明時(shí)命題成立，綜上一二兩步可得命題成立