Question

4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，則z=2x-2y-1的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{5}{3}$，5]
• B． [-$\frac{5}{3}$，5）
• C． [$\frac{5}{3}$，5）
• D． [0，5]

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（2，-1）．
化目標(biāo)函數(shù)z=2x-2y-1為y=x-$\frac{z}{2}-1$，
由圖可知，當(dāng)直線y=x-$\frac{z}{2}-1$過C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值，為$2×\frac{1}{3}-2×\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$；
當(dāng)直線y=x-$\frac{z}{2}-1$過A（2，-1）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值，為2×2-2×（-1）-1=5．
∵可行域中不含點(diǎn)A（2，-1），
∴z=2x-2y-1的取值范圍是[-$\frac{5}{3}，5$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．