Question

10．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t為參數(shù)），橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ為參數(shù)），F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

解答 解：（1）當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$的普通方程為x-y-2=0，極坐標(biāo)方程為ρcosα-ρsinα-2=0；
橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ為參數(shù)）的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，極坐標(biāo)方程為5ρ²cos²α+9ρ²sin²α=45．（5分）
（2）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得：（5+4sin²α）t²+20tcosα-25=0．
設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{25}{5+4si{n}^{2}α}$．
當(dāng)sinα=0時(shí)，|FA|•|FB|取最大值5；
當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|•|FB|取最小值$\frac{25}{9}$．…（5分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化成普通方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用參數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．