Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的$\sqrt{3}$倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l經(jīng)過(guò)M與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若S_△ABO=$\sqrt{3}$，直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a=$\sqrt{3}$b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+2，代入橢圓方程可得，（1+3k²）x²+12kx+6=0，即有△=144k²-24（1+3k²）＞0，
運(yùn)用韋達(dá)定理和△ABO的面積為S_△MBO-S_△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，代入韋達(dá)定理，解方程即可得到k的值，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得a=$\sqrt{3}$b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+2，
代入橢圓方程可得，（1+3k²）x²+12kx+6=0，
即有△=144k²-24（1+3k²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+3{k}^{2}}$，
則△ABO的面積為S_△MBO-S_△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{24}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k²=1，檢驗(yàn)△＞0成立．
則直線l的方程為y=±x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程和運(yùn)用，聯(lián)立直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．