Question

13．已知A為橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一個動點(diǎn)，直線AB，AC分別過焦點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，且與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若當(dāng)AC⊥x軸時，恰好有|AF₁|：|AF₂|=3：1，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓方程求出|AF₂|的長，結(jié)合橢圓定義求得|AF₁|，再由|AF₁|：|AF₂|=3：1列式求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)橫坐標(biāo)為c，不妨設(shè)A為橢圓在第一象限的點(diǎn)，
當(dāng)AC⊥x軸時，由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），得y_A=$\frac{^{2}}{a}$．
即|AF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，由橢圓定義得，|AF₁|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，
又|AF₁|：|AF₂|=3：1，得$\frac{2a-\frac{^{2}}{a}}{\frac{^{2}}{a}}$=3，即a²=2b²=2（a²-c²），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓的定義，是基礎(chǔ)題．