Question

【題目】如圖，菱形與等邊所在平面互相垂直，，，分別是線段，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行判定即可；

（Ⅱ）如圖，在等邊中，取線段中點(diǎn)，連接，以所在直線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，所在直線為軸建立如圖坐標(biāo)系．然后分別找到平面和平面的一個法向量，根據(jù)法向量求二面角的余弦值即可．

（Ⅰ）如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，是線段的中點(diǎn)，

則且．

在菱形中為線段中點(diǎn)，則且，

則且，故四邊形為平行四邊形，

所以．

又因為平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）如圖，在等邊中，取線段中點(diǎn)，連接，則，

因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

以所在直線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，所在直線為軸建立如圖坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，得平面的一個法向量為，

由題知平面的一個法向量為，

，

所以二面的余弦值為．