Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時，判斷是否存在使得，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在；見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，兩種情況，分別求解對應(yīng)的不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1）得，，推出，由時，，得到，分別討論，兩種情況，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值等，即可得出結(jié)果.

（1）的定義域為，

由，得.

①若，則當(dāng)時，，

此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

②若，令，解得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

此時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時，不存在，使得，證明如下：

由（1）知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，故，即.

因為，所以當(dāng)時，，故.

①當(dāng)時，再由

令，則.

令，得.

當(dāng)時，；當(dāng)，.

所以，故，

所以當(dāng)時，對，都有.

②當(dāng)時，對于，，故.

綜合①，②，當(dāng)時，對于任意的，都有.

所以，當(dāng)時，不存在，使得.