Question

【題目】已知拋物線過點

（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；

（2）直線與拋物線交于不同的兩點，過點作軸的垂線分別與直線，交于，兩點，其中為坐標(biāo)原點.若為線段的中點，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）證明見解析；

【解析】

(1) 點代入求得，即可的拋物線方程求得結(jié)果.

(2) 由題意知直線斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，根據(jù)已知由:， :，及過點作軸的垂線求得的坐標(biāo)，根據(jù)為線段的中點，借助韋達(dá)定理化簡即可證得結(jié)論.

解：（1）由拋物線過點，

得，所以拋物線的方程為，

其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.

（2）由題意知直線斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，直線與拋物線的交點為，.

由得，

由韋達(dá)定理，得，.

由已知得直線的方程為，所以，

由已知得直線方程為，所以.

因為是線段的中點，所以①，

將，，代入①式，并化簡得，

把，代入②式，化簡得

所以直線的方程為，故直線恒過定點.