Question

【題目】如圖所示，某地區(qū)打算在一塊矩形地塊上修建一個(gè)牧場(chǎng)（ABCDEF圍成的封閉區(qū)域）用來(lái)養(yǎng)殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（單位：百米），DEF是一段曲線形馬路.該牧場(chǎng)的核心區(qū)為等腰直角三角形MPQ所示區(qū)域，該區(qū)域用來(lái)養(yǎng)殖羊，其余區(qū)域養(yǎng)殖牛，且MP=PQ，牧場(chǎng)大門位于馬路DEF上的M處，一個(gè)觀察點(diǎn)P位于AB的中點(diǎn)處，為了能夠更好觀察動(dòng)物的生活情況，現(xiàn)決定修建一條觀察通道，起點(diǎn)位于距離觀察點(diǎn)P處1百米的O點(diǎn)所示位置，終點(diǎn)位于Q處.如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，若滿足.

（1）求的解析式；

（2）求觀察通道OQ長(zhǎng)度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）百米

【解析】

（1）依題意求出點(diǎn)，，，代入解析式即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)M，Q分別作x軸的垂線，垂足為，，可得，

再對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值；

解：（1）因?yàn)?/span>AB=10，P是AB的中點(diǎn)，所以AP=5，

又OP=1，所以AO=4，所以，，

因?yàn)?/span>CD=7，BC=4，AF=1所以，

由得，k=-4，所以.

故，又，所以解得，

所以

（2）過(guò)點(diǎn)M，Q分別作x軸的垂線，垂足為，，

則，

又因?yàn)?/span>PM⊥PQ，所以

所以，又因?yàn)?/span>PM=PQ，所以，

所以，由，可得，

①若，設(shè)，則，

.

令，則

，因?yàn)?/span>，所以

所以在上單調(diào)減，所以

設(shè)，則在上單調(diào)減

所以，所以

②若，設(shè)，則，

，

在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，

所以OQ的長(zhǎng)度的最小值為百米.

答：觀察通道OQ的長(zhǎng)度的最小值為百米