Question

如圖，在四面體ABOC中, , 且

（Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)，證明：在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算的值；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

3,

 解法一：
（Ⅰ）在平面內(nèi)作交于，　連接。
　　　又，　
　　　，
　　　。
　　　取為的中點(diǎn)，則。

在等腰　中，，

在中，，
在中，，


（Ⅱ）

連接，
由，知：.
又，
又由，。
是在平面內(nèi)的射影。
在等腰中，為的中點(diǎn)，
根據(jù)三垂線定理，知：
為二面角的平面角
在等腰中，，
在中，，
中，。

解法二：

取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 （如圖所示）
則
為中點(diǎn)，
設(shè) 。


 即，。
所以存在點(diǎn) 使得 且。
（Ⅱ）記平面的法向量為,則由，，且，
得， 故可取
又平面的法向量為。

兩面角的平面角是銳角，記為，則