Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，都存在，使得，求滿足條件的正整數(shù)的取值的集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為

; （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，1， ; （Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在時(shí)， ，求出導(dǎo)數(shù)，由不等式得增區(qū)間，由不等式得減區(qū)間；

（Ⅱ）方程，即為，有一根為，然后有或，這可根據(jù)的正負(fù)分類討論確定；

（Ⅲ）當(dāng)， 時(shí)， ，由導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上是增函數(shù)，這樣可得當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，因此只要，由此求出的范圍，

而這還需用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，才能得出結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)， 時(shí)， ，

從而 ，

，

的單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅱ）方程，即，即

所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解， ；

當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，1， ；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，1.

綜上，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，1，

（Ⅲ）當(dāng)， 時(shí)， ， ，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

且 .

所以當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，

所以，

因?yàn)閷?duì)任意的，都存在，使得，

從而，

所以，即，即（）

因?yàn)?/span>為單調(diào)遞增，

且滿足，而，不滿足題意，所以時(shí)，均不滿足題意，

所以滿足條件的正整數(shù)的取值的集合為.