Question

【題目】已知函數（），.

（1）若，曲線在點處的切線與軸垂直，求的值；

（2）若，試探究函數與的圖象在其公共點處是否存在公切線.若存在，研究值的個數；，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數與的圖象在其公共點處不存在公切線，當時，函數與的圖象在其公共點處存在公切線，且符合題意的的值有且僅有兩個.

【解析】試題分析：（1）當時， ，得到，依題意，即可求解的值；（2）假設的圖象在其公共點處存在公切線，分別求出導數，令，得，討論，分別， ，令，研究方程解的個數，可構造函數，運用都是求出單調區(qū)間，討論函數的零點個數即可判斷.

試題解析：（1）當時， ，∴ ，

依題意得，∴ .

（2）假設函數與的圖象在其公共點處存在公切線，

∵，∴ ，∴ ， ，

由得，即，

∴，故.

∵函數的定義域為，

當時， ，∴函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；

當時，令，

∵， ，

∴，即（）.

下面研究滿足此等式的的值的個數：

設，則，且，方程化為，

分別畫出和的圖象，

當時， ， ，

由函數圖象的性質可得和的圖象有且只有兩個公共點（且均符合），

∴方程有且只有兩個根.

綜上，當時，函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；當時，函數與的圖象在其公共點處存在公切線，且符合題意的的值有且僅有兩個.

點晴：本題主要考查了導數在函數中的綜合應用問題，其中解答中涉及到了利用導數求解曲線在某點處的切線方程，利用導數研究函數的單調性，利用函數的性質解決不等式、方程問題，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中認真審題，注意導數在函數中的合理應用，試題有一定的難度，屬于難題.