Question

（本小題共13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心的圓與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）直線：與圓交于，兩點(diǎn)，在圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形 為菱形，若存在，求出此時(shí)直線的斜率；若不存在，說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)橹本�與圓相切，

所以 ．                 …………………3分

所以圓的方程為 ．              …………………5分

（Ⅱ）（方法一）因?yàn)橹本�：與圓相交于，兩點(diǎn)，

所以，解得或．       …………………7分

假設(shè)存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，             ……………8分

則與互相垂直且平分，                ………………9分

所以原點(diǎn)到直線：的距離為．   …………10分

所以，解得，               ………………11分

即，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件．                 ………………12分

所以存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．       …………………13分

（方法二）記與交于點(diǎn)．

因?yàn)橹本�斜率為，顯然，所以直線方程為．…………7分

，  解得，  所以點(diǎn)坐標(biāo)為，…………9分

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，………………11分

即，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件．                   ………………12分

所以存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．         ……………13分

 

【解析】略