Question

14．在三角形ABC中，ABC表示三角形ABC的三個內(nèi)角．sinA=$\sqrt{3}$（1+cosA）
（1）求：角A
（2）若$sinBsinC=\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$．求：角B．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式結合三角函數(shù)函數(shù)值進行化簡計算即可．
（2）利用兩角和差的余弦公式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）由sinA=$\sqrt{3}$（1+cosA）
得2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$（1+2cos²$\frac{A}{2}$-1）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$，
∵0＜A＜π，∴0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
則0＜cos$\frac{A}{2}$＜1，
∴sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，
即tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，
則$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{3}$，
則A=$\frac{2π}{3}$
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，
∴B+C=$\frac{π}{3}$，
則cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=cos（B+C）+2sinBsinC=cos$\frac{π}{3}$+2×$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵-$\frac{π}{3}$＜B-C＜$\frac{π}{3}$，
∴B-C=$\frac{π}{6}$或-$\frac{π}{6}$，
∵B+C=$\frac{π}{3}$，
∴解得B=$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的倍角公式以及兩角和差的余弦公式是解決本題的關鍵．