Question

【題目】已知橢圓： 的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為， ，點(diǎn)滿(mǎn)足： 在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若斜率為（）的直線(xiàn)與軸、橢圓順次相交于點(diǎn)、、，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上得 ，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，解得，再根據(jù)，得， ，（2）由，得，設(shè)，代入化簡(jiǎn)得， ，即，再利用直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理及判別式恒大于零得， ,且．

試題解析：（Ⅰ）橢圓的離心率，

得，其中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， ，

又點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，∴ ，∴，

解得， ， ，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，直線(xiàn)的方程為，且，聯(lián)立，

得，

由，得,且．

設(shè)，則有， （）

∵，且由題意，

， 又

， ， ，

整理得，

將（）代入得， ， 知此式恒成立，

故直線(xiàn)斜率的取值范圍是．