Question

【題目】若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點(diǎn)”.

（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：有“和一點(diǎn)”.

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）解方程即可判斷；

（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；

（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．

（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意

故不存在

（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.

則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，

即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，

即a＝2x﹣2有解，

故a＞﹣2；

（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），

即cos（x+1）＝cosx+cos1，

即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，

即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，

故存在θ，

故cos（x+θ）＝cos1，

即cos（x+θ）＝cos1，

即cos（x+θ），

∵cos21﹣（2﹣2cos1）

＝cos21+2cos1﹣2

＜cos22cos22＜0，

故01，

故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，

即f（x）＝cosx函數(shù)有“和一點(diǎn)”.