Question

【題目】如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長(zhǎng)為a，E是PC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PAC⊥平面BDE；

(2)若二面角E－BD－C為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a3

【解析】試題分析：(1) 設(shè)法證明平面 內(nèi)的一條直線 垂直于平面 內(nèi)的兩條相交直線即可；（2）取 中點(diǎn)，連結(jié)，由已知條件推導(dǎo)出為二面角的平面角，由此能求出四棱錐的體積

試題解析：(1)證明　連接OE，如圖所示．

∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．

又∵BD面BDE，∴面PAC⊥面BDE．

(2)

解　取OC中點(diǎn)F，連接EF．

∵E為PC中點(diǎn)，

∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO．

又∵PO⊥面ABCD，

∴EF⊥面ABCD

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．

∴∠EOF為二面角E－BD－C的平面角，

∴∠EOF＝30°．

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．

∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．