Question

11．若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），我們稱$\overrightarrow{m}$為函數(shù)f（x）的“伙伴向量”，f（x）為向量$\overrightarrow{m}$的“伙伴函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$，其中ω＞0，且函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，求f（x）的“伙伴向量”$\overrightarrow{m}$的模；
（2）對于函數(shù)φ（x）=sinxcos2x，是否存在“伙伴向量”？若存在，求出φ（x）的“伙伴向量”，若不存在，請說明理由；
（3）記向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$）的“伙伴函數(shù)”為h（x），如果關于x的方程h（x）-k=0在[0，$\frac{π}{2}$]內有兩個不相等的實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)基本關系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的性質、“伙伴向量”的定義即可得出；
（2）若函數(shù)φ（x）=sinxcos2x存在“伙伴向量”，則存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx對任意的x∈R都成立，通過對x取值即可判斷出；
（3）求得h（x）的解析式，由兩角和的正弦公式，結合正弦函數(shù)的圖象，即可得到h（x）的單調性，進而得到k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx-2=sin2ωx+cos2ωx
=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
依題意得$\frac{2π}{2ω}$=2π，故ω=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=sinx+cosx，即f（x）的“伙伴向量”為$\overrightarrow{m}$=（1，1），
可得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2}$；
（2）若函數(shù)φ（x）=sinxcos2x存在“伙伴向量”，
即存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx對任意的x∈R都成立，
令x=0，得b=0，
可得sinxcos2x=asinx，即sinx=0或cos2x=a，
顯然上式對任意的x∈R不都成立，
則函數(shù)φ（x）=sinxcos2x不存在“伙伴向量”；
（3）由題意可得h（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），在[0，$\frac{π}{2}$]內，[0，$\frac{π}{6}$]遞增，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]遞減，
且h（0）=$\sqrt{3}$，h（$\frac{π}{6}$）=2，h（$\frac{π}{2}$）=1，
由關于x的方程h（x）=k在[0，$\frac{π}{2}$]內有兩個不相等的實根，
可得k的范圍是[$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查了三角函數(shù)基本關系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的性質，同時考查三角函數(shù)的變換方法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．