Question

【題目】已知拋物線C：=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=-,F為拋物線的焦點(diǎn)

（I）求拋物線C的方程；

（II）若P是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（,2）,求的最小值；

（III）若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（II）4（III）線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

【解析】

（I）由準(zhǔn)線方程求得，可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

（II）把轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可得三點(diǎn)共線時(shí)得所求最小值．

（III）寫出直線方程，代入拋物線方程后用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)．

（I）∵準(zhǔn)線方程x=-,得=1，

∴拋物線C的方程為

（II）過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂直為B，則=

要使+的最小，則P，A，B三點(diǎn)共線

此時(shí)+=+=4·

（III）直線MN的方程為y=x-·

設(shè)M（），N（），把y=x-代入拋物線方程,得-3x+=0

∵△=9-4×1×＝8＞0

∴+=3，=

線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為

線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）