Question

【題目】若定義在R上的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)x都成立，則稱是一個“k～特征函數(shù)”．則下列結論中正確命題序號為____________.

①是一個“k～特征函數(shù)”；②不是“k～特征函數(shù)”；

③是常數(shù)函數(shù)中唯一的“k～特征函數(shù)”；④“～特征函數(shù)”至少有一個零點；

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)題意：依次檢驗定義域，連續(xù)性，是否存在常數(shù)使得對任意實數(shù)x都成立即可.

①，考慮即：，，

考慮，必存在使，

即存在，使得對任意實數(shù)x都成立，所以①正確；

②，討論，即

當時，關于的方程無解，

不存在使對任意實數(shù)x都成立，

所以不是“k～特征函數(shù)”，所以②正確；

③設常數(shù)函數(shù)，討論，即，

當時對任意實數(shù)x都成立，所以任何一個常數(shù)函數(shù)都可以是“-1～特征函數(shù)”，

所以③錯誤；

④設是“～特征函數(shù)”， 則是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，

且對任意實數(shù)x都成立，

下面利用反證法證明必有零點：

證明：假設沒有零點，因為是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，則恒成立，或恒成立；

當恒成立，則，，與題矛盾；

當恒成立，則，，與題矛盾；

所以必有零點，所以④正確.

故答案為：①②④