Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xlnx，

（1）求函數(shù)f（x）過（﹣1，﹣2）的切線的方程

（2）過點P（1，t）存在兩條直線與曲線y＝f（x）相切，求t的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣1（2）（﹣∞，0）

【解析】

（1）求導得到f′（x）＝1+lnx，設切點為（m，n），利用切線方程公式計算得到答案.

（2）導數(shù)為f′（x）＝1+lnx，設切點為（u，v）化簡得到t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有兩解，求函數(shù)的最值得到答案.

（1）函數(shù)f（x）＝xlnx的導數(shù)為f′（x）＝1+lnx，

設切點為（m，n），可得切線的斜率為1+lnm，切線方程為y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m），

代入（﹣1，﹣2），可得﹣2﹣mlnm＝（1+lnm）（﹣1﹣m），

化為m+lnm＝1，由y＝x+lnx在（0，+∞）遞增，且x＝1時，y＝1，

可得m+lnm＝1的解為m＝1，

則所求切線的方程為y＝x﹣1；

（2）函數(shù)f（x）＝xlnx的導數(shù)為f′（x）＝1+lnx，

設切點為（u，v），則切線的斜率為f′（u）＝1+lnu，

即有切線的方程為y﹣ulnu＝（1+lnu）（x﹣u），

代入點P（1，t），即有t﹣ulnu＝（1+lnu）（1﹣u），

即為t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有兩解，

由g（x）＝lnx﹣x的導數(shù)為g′（x）1，

可得x＞1，g（x）遞減，0＜x＜1，g（x）遞增．

可得x＝1，取得最大值g（1）＝﹣1，即有t﹣1＜﹣1，解得t＜0．

故實數(shù)t的取值范圍時（﹣∞，0）．