Question

【題目】已知.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對分和兩種情況，分析在上的符號，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，且有，問題轉(zhuǎn)化為，對函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式求出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，.

①當(dāng)時，對任意的，，此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時，令，得；令，得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2），即，得，

又，不等式兩邊同時除以，得，即.

易知，由題意可知對任意的恒成立，.

①若，則當(dāng)時，，，此時，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不合乎題意；

②若，對于方程.

（i）當(dāng)時，即，恒成立，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，合乎題意；

（ii）當(dāng)時，即時，

設(shè)方程的兩個不等實根分別為、，且，

則，，所以，，，.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.