Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式；

（2）將的表達(dá)式化簡得到關(guān)于的二次函數(shù)的形式，討論對稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系，求出最小值，滿足題意，求出的值。

（1）是定義在上的奇函數(shù)，所以，

不妨設(shè)，則，，

若，則，故

所以.

（2）由（1）得，

當(dāng)時，，

所以

令，則，

所以函數(shù)在上的最小值即為函數(shù)在上的最小值，

對稱軸為，

當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，解得，

當(dāng)，即時，，

化簡得，，解得或，

因為，，所以此時，

當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以，解得，

所以，綜上所述，存在，.