Question

9．已知任何一個三次函數(shù)f（x）=ax²+bx²+cx+d（a≠0）都有對稱中心M（x₀，f（x₀）），記函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），f′（x）的導函數(shù)為f″（x），則有f″（x₀）=0，若函數(shù)f（x）=x³-3x²，則$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4031}{2016}}）$=-8062．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關(guān)于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2015個-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答 解：依題意，f'（x）=3x²-6x，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=-2，
∴f（x）=x³-3x²的對稱中心是（1，-2）．
即f（x）+f（2-x）=-4．
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{4031}{2016}$）=-4，…f（$\frac{2015}{2016}$）+f（$\frac{2017}{2016}$）=-4，f（$\frac{2016}{2016}$）=-2，
∴$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4031}{2016}}）$=-4×2015+（-2）=-8062
故答案為：-8062．

點評 本題主要考查導數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．