Question

【題目】在等比數列中，已知設數列的前n項和為，且

（1）求數列通項公式；

（2）證明：數列是等差數列；

（3）是否存在等差數列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據已知條件求得，由此求得數列通項公式.

（2）利用，證得數列是等差數列.

（3）由（2）求得和，假設存在符合題意的等差數列，結合求得.

（1）依題意，解得，所以.

（2）依題意，，即①，

所以②，

②-①并化簡得，

故，即.

令代入得

.

所以.所以.

所以數列是以為首項，公差為的等差數列.

（3）由（2）得，所以.

所以.

假設存在滿足題意的等差數列，使得對任意，都有，設，

即對任意，都有，即③.

首先證明滿足③的：

（i）當時，若，，則，不滿足③；

（ii）當時，若，，則.

而，則，

所以，則，不滿足③；

所以.

令，，

所以在上遞增.

所以當時，.

即當時，，即.

所以當，時，.

再證明：

（iii）若，則當時，，，這與③矛盾.

（iv）若，同（i）可得矛盾.所以.

當時，，滿足，所以.

綜上所述，存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設.